%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{16 Nombres rationnels.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{16 Nombres rationnels.}

\begin{notabene}
	
	Problème de la multiplicité des écritures des nombres: difficulté pour comparer des nombres. Faire un passage par la question de qu'est-ce que comparer des nombres et comment le faire.  Commencer à classer les nombres: a-t-on tous le nombres? Passer d'une écriture à une autre.
	
	La notion d'ensemble.
	
	Introduction et définition du vocabulaire ensembliste: égalité d'ensembles.
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	À cette étape de votre scolarité les nombres ont de multiples formes: nombres entiers, écritures décimales, fractionnaires, écritures scientifiques.
	
	Faisons un peu de ménage dans cet embrouillamini. 
	
\end{lecon}

\subsection{Une petite histoire des nombres.}

\begin{notabene}
	
	Vous connaissez déjà des nombres. Certains sont plus naturels que d'autres: $0$, $1$,... D'autres moins. Quels nombres connaissez-vous?
	
\end{notabene}

\begin{notabene}
	
	Faire un historique de l'apparition des nombres: entiers, zéro, rationnels, irrationnel, négatifs, et ensuite? Y-en a-t-il d'autres?
	
	Pour répondre à cette question nous allons devoir être capable de comparer des nombres. Or la multiplicité des écritures rend difficiles ces comparaisons (penser à dire l'intérêt des différentes écritures).
	
\end{notabene}

\begin{lecon}
	
	Les premiers nombres servaient à dénombrer, c'est-à-dire à compter les objets: $1$, $2$, $3$, et ainsi de suite. Si cela nous paraît naturel, que l'on songe à l'effort de conceptualisation qu'il fallut faire pour considérer qu'il y avait quelque chose de commun entre $3$ souris et $3$ éléphants. 
	
	Le nombre est un objet qui ne se préoccupe pas de ce qu'on observe. Il n'est associé à aucune sorte particulière d'objets à aucune unité de mesure.
	
	\medskip
	Il fallut faire des partages et les fractions firent leur apparition. Mais dans un premier temps il s'agissait de méthodes de calcul et non de nombres. Ainsi dans l'antiquité grecque les fractions étaient considérées comme des ratios c'est-à-dire des rapports entre des longueurs et non comme des nombres; il s'agissait d'un lien ente deux nombres et non d'un unique nombre. Mais les Grecs furent embêtés par un nombre qui n'existait pas: $\sqrt{2}$. En effet, s'il est possible de dessiner cette longueur, il est impossible de l'exprimer dans un ratio avec les nombres entiers (nombres incommensurables).
	
	\begin{notabene}
		
		Pour les Grecs il n'y avait pas d'unité officielle de mesure. L'important n'était pas le nombre mais les rapports de grandeurs. D'où l'importance du théorème de Thalès il fallait un outil forcément géométrique pour reproduire des rapports de longueurs.
		
		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\draw (0,0) -- (2,0)--(2,6) -- cycle;
				\draw (1,0) -- (1,3);
				\draw (1,2) node {$\bullet$};
				\draw (2,4) node {$\bullet$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
		
	\end{notabene}
	
	\medskip
	Il fallut très longtemps pour que l'absence d'objet put être considérée comme un nombre. Les nombres sont nés pour la comptabilité et la géométrie (au sens littéral de mesure de la Terre) domaines qui s'intéresse à ce qui est, et non à ce qui n'est pas. Inventé dès le VII\ieme{} siècle en Inde le zéro n'apparaît en Europe qu'au X\ieme{} siècle.
	
	\medskip
	Si conceptuellement l'acceptation du zéro fut difficile, son utilisation combinée à celles des chiffres arabes pour écrire les nombres fit florès.
	
	Il existait des systèmes décimaux depuis le III\ieme{} siècle avant Jésus-Christ mais l'écriture était lourde. Si $\alpha$ avait représenté le nombre $1$ et $ \beta$ le nombre $10$ voici comment les égyptiens auraient écrit $43$: $\beta\beta\beta\beta \alpha\alpha\alpha$. 
	
	Grâce à l'emploi du zéro positionnel nous avons notre système d'écriture: sans les zéros qui le suivent nous ne pourrions pas savoir que le $1$ dans l'écriture $100$ représente une centaine.
	
	Le zéro positionnel permet de manipuler avec une grande aisance les fractions dont le dénominateur est une puissance de $10$; ce que les élèves appellent \og les chiffres après la virgule \fg{}.
	
	\medskip
	Les nombres négatifs ne furent acceptés qu'au XVIII\ieme{} siècle. Ils furent découvert et utilisés bien avant mais leur acceptation en tant que nombre nécessitait de dépasser un grand nombre de paradoxes.
	
	\medskip
	Nous avons donc, au terme de cette évolution, trois écritures des nombres: les nombres entiers, les nombres fractionnaires et les nombres avec une écriture décimale (auxquelles ont pourrait rajouter l'écriture scientifique ou l'écriture ingénieur mais ce sont des écritures qui servent essentiellement pour les valeurs approchées). À ces trois principales écritures se rajoute le signe puisque à chaque nombre positif lui correspond son opposé en négatif. 
	
\end{lecon}

\subsection{Comparer des nombres.}

\begin{lecon}
	
	Puisqu'il y a différentes écriture, il y a un risque qu'un nombre puisse avoir plusieurs écritures et que nous soyons incapables de nous en rendre compte. Il faut être capable de distinguer les nombres; en mathématique nous dirons comparer.
	
	Comparer deux nombres $a$ et $b$ c'est dire laquelle des trois possibilités suivantes, qui s'excluent mutuellement, est vraie: $a=b$, $a<b$ et enfin $a>b$. 
	
	Ceci revient à chercher le signe de la différence $a-b$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	Nous avons vu au collège  différentes façons de faire ces soustractions mais le plus souvent il s'agit de se ramener à une différence de fractions.
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $a=3$, $b=1000$, 
		
		\item $a=17$ et $b=16,80$.
		
		\item $a=34,07$ et $b=34,7$.
		
		\item $a=4,3$ et $b=\frac{2}{10}$.
		
		\item $a=5$ et $b=\frac{1}{3}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	Les écritures décimales ne sont pas forcément finie. Ainsi $\frac{1}{3}$ a une écriture décimale infinie: $\frac{1}{3}=0,333\dots$.
	
	Remarquons que nous ne pouvons pas utiliser les écritures décimales infinies sans un certain risque puisque: $0,333\dots +0,333\dots  0,333\dots =1$. Pourtant nous serions tentés de dire que $0,999\dots <1$.
	
	\begin{notabene}
		
		Attention cette assertion est fausse. En profiter pour introduire le vocabulaire assertion ou proposition.
		
	\end{notabene}
	
	Nous voyons avec ce dernier exemple que si nous devions retenir une seule méthode générale pour comparer les nombres ce serait de faire la différence de leur écriture fractionnaire.
	
	\medskip
	Les grecs de l'antiquité qui manipulaient uniquement des fractions furent néanmoins confrontés à une difficulté: $\sqrt{2}$. C'est bien un nombre puisque c'est une longueur mais ce n'est pas une fraction (ce qui sera démontré dans la leçon traitant des multiples et diviseurs).
	
	Autrement dit tous les nombres ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions.
	
	Il a fallut commencer à penser à ranger les nombres pour y voir clair et repérer ceux qui manquaient.
	
\end{lecon}

\subsection{Les ensembles de nombres entiers.}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers naturels} sont les nombres qui servent à dénombrer, à compter. L'ensemble de tous les entiers naturels est: $${\color{purple}\mathbb{N}}=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $10^{13}$ est une entier naturel. Nous écrirons $10^{13} \in \mathbb{N}$.
		
		\item Si $n \in \mathbb{N}$ alors $2n$ est un nombre pair positif et $2n+1$ est un nombre impair positif.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers (relatifs)} sont les entiers naturels et leurs \emph{\color{purple}opposés}. L'ensemble de tous les entiers (relatifs) est: $${\color{purple}\mathbb{Z}}=\{ \dots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $0 \in \mathbb{Z}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre entier par l'un de ses développements décimaux infinis. En effet l'une de ses écritures décimales ne comporte que des $0$ dans la partie décimale. Par exemple: $1,000\dots$ et $-234,000\dots$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ mais $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	{\color{WildStrawberry} Il y a deux choses à démontrer.}
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ par construction puisque nous avons jouter des éléments à $\mathbb{N}$ pour obtenir $\mathbb{Z}$.
		
		\item Pour montrer que $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$ il suffit de montrer qu'il existe (au moins) un nombre entier relatif qui n'est pas un entier naturel. $-1$ n'est pas égale à $0$ car sinon $1=0$ et n'est pas égale à un entier naturel strictement supérieur à $0$ car sinon $1+(-1)$ ne serait pas nul.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\subsection{Ensemble des nombres rationnels.}

\begin{notabene}
	
	Dans la mesure où les puissances n'ont pas été revues, il est possible d'utiliser la notation puissance mais il ne faut pas pour l'instant utiliser les règles de calcul avec les puissances.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Les fractions.}

\begin{definition}
	
	Une \emph{\color{purple}fraction} est un nombre qui peut s'écrire comme le quotient d'un entier par un autre entier (non nul).
	
\end{definition}

\begin{notabene}
	
	Au lycée et ultérieurement on utilise que la notation fractionnaire pour la division et plus le $\div$ (obélus).
	
\end{notabene}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Lorsqu'un nombre, dans son écriture décimale, n'a que des zéros à partir d'un certain nombre de décimales alors on dit que c'est un \emph{\color{purple}nombre décimal}. Ainsi: $\np{2315,895643}= \np{2315,895643000}\dots$ est un nombre décimal.
		
		Tous les nombres décimaux peuvent s'écrire sous forme de fraction: $\np{2315,895643}=\frac{\np{2315895643}}{\np{1000000}}$.
		
		\begin{notabene}
			Il ne faut pas confondre écriture décimale et nombre décimal.
			
			En particulier tous les entiers (relatifs) sont des nombres décimaux.
		\end{notabene}
		
		\item Il existe des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fractions: l'irrationalité de $\pi$ est admise mais celle de $\sqrt{2}$ sera démontrée dans une prochaine leçon.
		
		\item Rappelons une règle de priorité opératoire: dans une écriture fractionnaire la division correspondant à la barre de fraction est la dernière opération effectuée.
		
		\item La manipulation des fractions nécessite de connaître les règles d'addition (réduire au même dénominateur), \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} + \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y} = \frac{{\color{blue}a} {\color{ForestGreen}y} + {\color{Mulberry}x} {\color{BurntOrange}b}}{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}} \] \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} de multiplication, \[ \color{purple} \frac{\color{blue}a}{\color{BurntOrange}b}\cdot \frac{\color{Mulberry}x}{\color{ForestGreen}y}=\frac{{\color{blue}a} {\color{Mulberry}x}}{{\color{BurntOrange}b} {\color{ForestGreen}y}} \] \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} et de division \[ \color{purple} \frac{ \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} }{ \frac{\color{Mulberry}x} {\color{ForestGreen}y}} = \frac{\color{blue}a} {\color{BurntOrange}b} \cdot \frac{\color{ForestGreen}y} {\color{Mulberry}x}. \] 
		
		Rappelons encore que pour simplifier une fraction il faut qu'il y ait un facteur commun au numérateur et au dénominateur: \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{a\times {\color{blue}x}}{b\times {\color{blue}x}}=\frac{a}{b} \]
		
		\item Une astuce d'écriture qui nous sera souvent utile \marginpar{\color{red}$\heartsuit$} \[ \frac{a}{b}=\frac{1}{b}\cdot a \]
		
		\item Rappelons enfin qu'il est impossible de diviser par $0$. 
		
		\begin{correction}
			
			\begin{preuve}
				
				Raisonnons par l'absurde: supposons qu'il existe un nombre $q$ tel que $\frac{3}{0}=q$ (nous supposons que l'on peut diviser $3$ par $0$). Donc $3=0\times q$. Ce qui est impossible car $0\times q=0$ ($0$ est une valeur absorbante). Nous avons donc démontré par l'absurde qu'il est impossible de diviser $3$ par $0$.
				
			\end{preuve}
			
		\end{correction}
		
		\item Rappelons encore les règles de priorités:
		
		\begin{enumerate}[\text{Priorité} 1]
			\item Les calculs entre parenthèses ou crochets. S'il y a des parenthèses emboîtées les plus emboîtées sont prioritaires. La barre de fraction joue le même rôle que des parenthèses autour des numérateurs et dénominateurs.
			\item Les puissances.
			\item Les multiplications et division ($\div$) en allant de gauche à droite.
			\item Les additions et soustractions en allant de gauche à droite.
		\end{enumerate}
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Les nombres rationnels.}

\begin{definition}
	
	Les \emph{\color{purple}nombres rationnels} sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction.
	
	Ainsi un nombre $x$ est rationnel s'il existe $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ tels que $x=\frac{a}{b}$.
	
	L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté: {\color{purple}$\mathbb{Q}$}.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{3}$ et $-\frac{1}{3}$ sont des nombres rationnels.
		\item $1=\frac{1}{1} \in \mathbb{Q}$.
		\item $0,1=\frac{1}{10} \in\mathbb{Q}$.
		\item Les racines carrées de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont irrationnels: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ... sont irrationnels. Si $n \in \mathbb{N}$ et si $n$ n'est pas un carré parfait alors $\sqrt{n} \not\in\mathbb{Q}$.
		\item $\pi$ et $\mathbb{e}$ sont irrationnels.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
	
\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un entier est un nombre rationnel. Par exemple: $-13=\frac{-13}{1}$.
		\item Les nombres décimaux peuvent s'écrire comme des fractions donc ce sont des nombres rationnels. Ainsi: $0,1=\frac{1}{10}$.
		\item Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux et qui sont rationnels. Ainsi $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel mais son écriture décimale est infinie v(et ne comporte pas uniquement des $9$ à partir d'un certain rang) donc ce n'est un nombre décimal.
		
		\begin{notabene}
			
			Faire une division à la main pour faire apparaître la période dans l'écriture décimale.
			
		\end{notabene}
		
		\item Tous les nombres ne sont pas rationnels.
		\item Lorsqu'un nombre rationnel a une écriture décimale infinie on préfère son écriture fractionnaire.
		
		\begin{notabene}
			Les écritures décimale infinies ne sont pas toujours uniques: $\np{0,999}\dots=1$.
			
		\end{notabene}
		
		\item Un nombre rationnel admet une écriture fractionnaire canonique (unique) appelée la \emph{\color{purple}forme irréductible} qui est obtenue lorsque le PGCD des numérateur et dénominateur est $1$ (ils n'ont pas de facteur commun). \emph{confer infra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	
	Lorsqu'un nombre a une écriture décimale infinie périodique c'est un nombre rationnel.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est admis.
		\item On dit que l'écriture est périodique lorsqu'une série de chiffre se reproduit indéfiniment.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $0,333\dots$ est rationnel.
		\item $45,78242424\dots$ est rationnel.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Faire au tableau un schéma des inclusions successives avec les ensembles usuels vus jusque là.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Nombres premiers.}

Un entier naturel est dit \emph{\color{purple}premier} si et seulement il a exactement deux diviseurs distincts positifs.

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $12$ n'est pas un nombre premier puisqu'il est divisible par $2$ et $3$.
		\item Les premiers nombres premiers sont $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$.
		\item $1$ n'est pas un nombre premier car il n'a qu'un seul diviseur: lui-même.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Les nombres premiers jouent un rôle fondamental dans de nombreux domaines notamment en cryptographie.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Décomposition en facteurs premiers.}

\begin{theoreme}{ - théorème fondamental de l'arithmétique}
	
	Tout entier naturel supérieur ou égale à $2$ admet une décomposition en facteurs premiers unique à l'ordre des facteurs près.
	
\end{theoreme}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $12=2 \times 2 \times 3$ et $2$ et $3$ sont bien des nombres premiers.
		\item $16=2\times 2 \times 2 \times 2 =2^4$.
		\item $36= 2 \times 2 \times 3 \times 3=2^2 \times 3^2$.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item Pour que l'écriture de la décomposition soit unique la convention est d'écrire une seule fois chaque facteur premier à la puissance convenable et d'écrire les facteurs dans l'ordre croissant. On n'écrira pas $3 \times 2 \times 3$ mais $2 \times 3^2$.
		
		\item D'après ce théorème tous les résultats sur les nombre entiers naturels peuvent se ramener à des résultats sur les nombres premiers.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Forme irréductible d'une fraction.}

\begin{lecon}
	
	Le nombre $\frac{1}{2}$ peut encore s'écrire $\frac{2}{4}$. L'écriture fractionnaire d'un nombre n'est pas unique. Ceci pouvant produire de la confusion les mathématiciens ont retenu une écriture fractionnaire qui est unique: \emph{\color{purple}la forme irréductible d'une fraction}.
	
\end{lecon}

\begin{proposition}{}
	
	Tout nombre rationnel s'écrit de façon unique comme une fraction dont le numérateur et le dénominateur non pas d'autre commun diviseur que $1$ (ou $-1$).
	
\end{proposition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{3}$ est une forme irréductible.
		
		\item $\frac{14}{21}$ n'est pas une forme irréductible puisque $14$ et $21$ admettent $7$ pour diviseur commun: $\frac{14}{21}=\frac{2 \times {\color{orange}7}}{3 \times {\color{orange}7}}=\frac{2}{3}$.
		
		\item En toute rigueur la forme irréductible de l'entier $5$ devrait s'écrire $\frac{5}{1}$ cependant l'usage veut que nous usions de l'écriture la plus simple: $5$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Des nombres entiers qui n'ont pas de diviseur commun autre que $1$ ou $-1$ sont dits \emph{\color{purple}premiers entre eux}.
		\item Pour trouver la forme irréductible d'une fraction il faut recherche le plus grand facteur commun au numérateur et au dénominateur qu'on appelle le P.G.C.D. (plus grand commun diviseur). Le P.G.C.D. s'obtient grâce à l'algorithme d'Euclide.
		\item Dans la pratique pour trouver la forme irréductible nous utiliserons des décompositions en facteurs premiers.
		\item La forme irréductible permet de déterminer le plus petit ensemble auquel appartient une fraction parmi $\mathbb{N}$, $\mathbb{Z}$, $\mathbb{D}$ et $\mathbb{Q}$.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\subsubsection{Un nombre célèbre pour son irrationalité.}

\begin{lemme}{}
	
	Soit $p \in \mathbb{Z}$.
	
	\medskip
	Si $^2$ est pair alors $p$ est pair.
	
\end{lemme}

\begin{preuve}
	
	Il s'agit de la contraposée de l'affirmation: \og si $p\in\mathbb{Z}$ est impair alors $p^2$ est impair\fg{}.
	
\end{preuve}

\begin{proposition}{ - Irrationalité de $\sqrt{2}$.}
	
	$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.}
	
	Supposons que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
	
	{\color{orange}Il faut interpréter ceci en utilisant la définition du nombre rationnel.}
	
	Il existe donc des entiers naturels $p$ et $q$ avec $q$ non nul tels que: $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
	
	Montrons que $p$ et $q$ sont des nombres pairs.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Donc, en multipliant par $q$ de part et d'autre dans l'égalité: $q\sqrt{2}=p$.
		
		{\color{orange}Nous allons nous ramener à l'arithmétique en utilisant des entiers naturels.}
		
		\begin{align*}
			\left( q\sqrt{2} \right)^2 &= p^2 \\
			\intertext{nous en déduisons successivement:}
			\left( \sqrt{2} \right)^2 q^2  &= p^2\\
			2q^2 &= p^2
		\end{align*}
		
		Donc $p^2$ est pair et, d'après le lemme $p$ est donc pair.
		
		\item Puisque $p$ est pair il existe $k$ tel que $p=2k$. Nous pouvons donc écrire:
		
		\begin{align*}
			2q^2 &= (2k)^2\\
			2q^2 &= 4k^2\\
			q^2 &= 2k^2
		\end{align*}
		
		Donc $q^2$ est pair et d'après le lemme $q$ aussi est pair.
		
	\end{enumerate}		
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous avons obtenus ici une incohérence.}
	
	Si $p$ et $q$ sont pairs c'est qu'ils ont un diviseur commun: $2$. La fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible ce qui contredit notre hypothèse.
	
	\begin{conclusion}
		
		
		Nous avons démontré, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement, $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\subsection{Le dévissage de l'ensemble des nombres (les matriochka).}


\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$ mais $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{Z}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{}
	
	\begin{enumerate}
		\item Soit $n\in\mathbb{Z}$. $n=\frac{n}{1}$ donc $n$ peut s'écrire comme un rationnel et donc $n\in \mathbb{Q}$.
		
		Ceci étant vrai quelque soit le nombre $n$ choisi: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
		
		\item $\frac{1}{3} \in \mathbb{Q}$ mais $\frac{1}{3} \not\in \mathbb{Z}$. En effet $0 < \frac{1}{3} <1$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre rationnel par son développement décimal infini. En effet celui-ci est nécessairement périodique (à partir d'un certain rang. Par exemples: $0,333\dots$, $-12,343434 \dots$ et $3,000\dots$ sont des nombre rationnels.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ mais $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}{\Coffeecup}
	
	\begin{enumerate}
		\item L'inclusion découle du fait que $\mathbb{R}$ est construit à partir de $\mathbb{Q}$ en ajoutant d'autres nombre.
		
		\item $\sqrt{2} \in\mathbb{R}$ mais $\sqrt{2} \not\in \mathbb{Q}$. L'irrationalité de $\sqrt{2}$ sera pour l'instant admise.
		
	\end{enumerate}
	
\end{preuve}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Les nombres qui ne sont pas réels sont appelés des \emph{\color{purple}nombres irrationnels}.
		
		\item Il est possible de reconnaître un nombre irrationnel à son développement décimal infini: celui-ci ne comporte aucune périodicité (aucune répétition jusqu'à l'infini d'une série de chiffres). Par exemple $\pi$ et $\sqrt{2}$ ont des développements décimaux infinis sans aucune répétition.
		
		Ces pour cette raison que les nombres irrationnels ne sont jamais présenté par leur écriture décimale mais par des lettres ou des symboles. Certains sont célèbres: $\pi$ (pi), $\varphi$ (nombre d'or), $\gamma$ (constante d'Euler), $e$ (constante de Neper), $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ...
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Il reste une ensemble classique de nombre que nous n'avons pas évoqué c'estl'ensemble des nombres décimaux, $\color{purple}\mathbb{D}$. Nous savons qu'un nombre est décimal s'il est possible de l'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$.
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		
		\item $-0,1 \in \mathbb{D}$.
		
		\item $\frac{9078687656}{100} \in \mathbb{D}$.
		
		\item Les nombres décimaux sont ceux qui admettent une écriture décimale finie.
		
		\item Les nombres décimaux sont ceux qui admettent une écriture fractionnaire de la forme $\frac{a}{2 ^p \times5^n}$ où $a \in\mathbb{Z}$ et $n,p \in \mathbb{N}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$ et $\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$, mais $\mathbb{D} \not\subset \mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D}$.
	
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Nous pouvons résumer les inclusions entre les ensembles classiques étudiés avec un diagramme de Venn qui schématise la chaîne d'inclusion: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.75,yscale=0.75]
			\def\an{2};
			\def\bn{1};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\an*cos(\x)},{\bn*sin(\x)});
			\draw [black] ({-\an+1},{0}) node {$\mathbb{N}$};
			\draw [black] ({0.5},{0}) node {$0$, $1$, $2$, $\dots$};
			\def\az{3};
			\def\deltanz{0.75};
			\def\bz{2};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\az*cos(\x)+\deltanz},{\bz*sin(\x)});
			\draw [blue] ({\az-0.5+\deltanz},{0}) node {$\mathbb{Z}$};
			\draw [blue] ({\az-1},{\bz-1}) node {$-3$};
			\draw [blue] ({\az-1},{-\bz+1}) node {$-10^3$};
			\def\ad{4};
			\def\deltazd{1.5};
			\def\bd{3};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ad*cos(\x)+\deltazd},{\bd*sin(\x)});
			\draw [Green] ({\ad-0.5+\deltazd},{0}) node {$\mathbb{D}$};
			\draw [Green] ({\ad-1},{\bd-1}) node {$-0,013$};
			\draw [Green] ({\ad-0.4},{-\bd+1.3}) node {$\dfrac{2386}{100}$};
			\def\aq{5};
			\def\deltadq{2.25};
			\def\bq{4};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\aq*cos(\x)+\deltadq},{\bq*sin(\x)});
			\draw [red] ({\aq-0.5+\deltadq},{0}) node {$\mathbb{Q}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{\bq-1}) node {$-\dfrac{1}{3}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{-\bq+1}) node {$\dfrac{1}{7}$};
			\def\ar{6};
			\def\deltaqr{3};
			\def\br{5};
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ar*cos(\x)+\deltaqr},{\br*sin(\x)});
			\draw [orange] ({\ar-0.5+\deltaqr},{0}) node {$\mathbb{R}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{\br-1}) node {$\sqrt{2}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{-\br+1}) node {$\pi$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\begin{lecon}
	
	\medskip
	Il existe une multitude d'ensembles de nombres classiques. On distingue notamment les nombres algébriques et transcendants. 
	
	Il existe de plus gros ensembles de nombres que $\mathbb{R}$ ainsi $\mathbb{C}$, l'ensemble des nombres complexes qui permet d'ajouter les solutions des équations polynomiales sans solutions dans $\mathbb{R}$ comme $x^2+1=0$.
	
	Il existe aussi de nombreux sous-ensembles des entiers. Par exemple l'ensemble des nombres premiers que vous connaissez déjà mais aussi les nombres triangulaires, les nombres parfaits, ...
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}


\begin{exercice}{A}
	
	Déterminez la décomposition en facteurs premiers de $180$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Pour cette question nous pouvons nous contenter d'exhiber la réponse. Regardons le travail à faire au brouillon.
		
		Nous divisons autant de fois que possible par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand.
		
		\begin{enumerate}[\text{Étape } 1 $\bullet$]
			\item $180$ est divisible par $2$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 &
			\end{array} \]
			
			\item $90$ est divisible par $2$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 & 2\\
				45 &
			\end{array} \]
			
			\item $45$ n'est pas divisible par $2$, nous essayons donc avec le nombre premier suivant $3$. $45$ est bien divisible par $3$ puisque $4+5=9$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 & 2\\
				45 & 3 \\
				15 & 
			\end{array} \]
			
		\end{enumerate}
		
		En procédant ainsi de proche en proche nous obtenons finalement
		
		\[ \begin{array}{r|l}
			180 & 2\\
			90 & 2\\
			45 & 3\\
			15 & 3 \\
			5 & 5 \\
			1 &
		\end{array} \]
		
		Ainsi: $180= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$.
		
		Finalement nous écrirons uniquement
	}
	
	\begin{conclusion}
		
		$180=2^2\times 3^2 \times 5$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Donnez la forme irréductible du nombre rationnel $\displaystyle \frac{120}{300}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire à la main pour apprendre mise au même dénominateur. Puis faire deux vérifications à la calculatrice: en faisant un calcul en ligne puis un calcul avec les écritures fractionnaires.
		
		Remarque: les calculs à la main sont désormais exigés notamment en STMG.
		
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme de fraction irréductibles.:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{2}{7}$
		\task $\displaystyle B=\frac{1}{7}-\frac{4}{11}$
		\task $\displaystyle C=\frac{-5}{3}+\frac{2}{7}$
		\task $\displaystyle D=\frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous pouvons vérifier les résultats à la calculatrice.}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
			A &= \frac{1}{3}+\frac{2}{7}\\
			A &= \frac{1\times 7}{3\times 7} +\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
			A&= \frac{7}{21}+\frac{6}{21}\\
			A &= \frac{13}{21}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{1}{7}-\frac{4}{11}\\
			B &= \frac{1\times 11}{7\times 11}-\frac{4\times 7}{11\times 7}\\
			B &= \frac{11}{77}-\frac{28}{77}\\
			B &= -\frac{17}{77}
		\end{align*}
		
		\item
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{-5}{3}+\frac{2}{7}\\
			C &= \frac{-5\times 7}{3\times 7}+\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
			C &= \frac{-35}{21}+\frac{6}{21}\\
			C &= \frac{-29}{21}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}\\
			D &= \frac{3\times 3}{-7\times 3}-\frac{-2\times (-7)}{3\times (-7)}\\
			D &= \frac{9}{-27}-\frac{14}{-27}\\
			D &= \frac{-5}{-27}\\
			D &= \frac{5}{27}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Il faut savoir faire ces calculs à la calculatrice.
		
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme d'une fraction irréductible:
	
	\begin{tasks}(3)  		\task $\displaystyle A=-\frac{-4}{7-3}$
		\task $\displaystyle B=\frac{2}{3}\times \frac{6}{7}$
		\task $\displaystyle C=\frac{-2}{4}\times \left( -\frac{3}{-6}\right)$
		\task $\displaystyle D=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{7}}$
		\task$\displaystyle E=\frac{3}{\frac{5}{4}}$
		\task $\displaystyle F=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}}{\frac{1}{7}}\times \frac{1}{2}$
		\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
			A &= -\frac{-4}{4}\\
			&= -(-1)\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{2 \times 6}{3 \times 7}\\
			&= \frac{12}{21}\\
			&= \frac{{\color{orange}3} \times 2 \times 2}{{\color{orange}3} \times 7}\\
			&= \frac{4}{7}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{-2}{4} \times \frac{-3}{-6}\\
			&= \frac{-2 \times (-3)}{4 \times (-6)}\\
			&= \frac{6}{-24}\\
			&= - \frac{6}{24}\\
			&= - \frac{{\color{orange}6} \times 1}{{\color{orange}6} \times 2 \times 2}\\
			&= -\frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{4}{5} \times \frac{7}{6} \\
			&= \frac{4 \times 7}{5 \times 6}\\
			&= \frac{28}{30}\\
			&= \frac{ {\color{orange}2} \times 2 \times 7}{ {\color{orange}2 } \times 3 \times 5}\\
			&= \frac{14}{15}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			E &= \frac{\frac{3}{1}}{\frac{5}{4}}\\
			&= \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{5}\\
			&= \frac{3 \times 2 \times 2}{5}\\
			&= \frac{12}{5}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			F &= \frac{\frac{1 \times 3}{2 \times 5}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3}{10} \times \frac{7}{1} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3 \times 7 \times 1}{10 \times 1 \times 2}\\
			&= \frac{3 \times 7}{2 \times 2 \times 5} \\
			&= \frac{21}{20}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Calculez et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=\frac{-3}{2}+\frac{1}{5}$.
		\task $\displaystyle B=\frac{2}{6}\times \frac{3}{7}$.
		\task $\displaystyle C=\frac{35}{49}+\frac{56}{37}$.
		\task $\displaystyle D=\frac{256}{47}\times \frac{245}{650}$.
		\task $\displaystyle E=\frac{\frac{4}{6}+\frac{17}{3}}{56}+\frac{9}{13}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\sqrt{17}$.
		\task $-\np{34509786}$.
		\task $-0,0223$.
		\task $34,45218\dots$.
		\task $\dfrac{345}{100}$.
		\task $\dfrac{24}{7}$.
		\task $\dfrac{34}{2^3 \times 5^2}$.
		\task $\dfrac{\frac{1}{3}}{14}$.
		\task $3,234 \times 10^{45}$.
		\task $\pi+3$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $-\dfrac{12}{3}$.
		\task $-\np{23,7237237}\dots$.
		\task $\dfrac{76987}{10}$.
		\task $\pi$.
		\task $\sqrt{3}^2$.
		\task $0,987654321\times 10^9$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
		\task $\dfrac{2}{250}$.
		\task $3+\sqrt{2}$.
		\task $\dfrac{1}{5}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\subsection{Construction géométrique des nombres. }

\begin{lecon}
	
	Avant de les considérer comme des nombres les Grecs manipulaient les rationnels en tant que rapport de grandeurs: $3$ est par rapport à $6$ ce que $1$ est par rapport à $2$. Nous parlerions, nous, du nombre $\frac{1}{2}$.
	
	De même $6$ est à $3$ ce que $2$ est à $1$. Dans ce cas nous parlons nous de $2$. Le nombre associé à un rapport est en fait le coefficient multiplicateur qui permet de passer de l'un à l'autre. Or si vous fûtes attentifs au collège qui dit coefficient multiplicateur dit en géométrie ...
	
\end{lecon}

\begin{exercice}{}
	
	Étant donné $A$, $B$ et $C$ trois points distincts non-alignés du plan, en utilisant la règle non graduée et le compas, dessinez la parallèle à $(AB)$ passant par $C$.
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{}
	
	Nous allons dessiner à la règle non graduée et au compas la longueur $\frac{3}{5}$.
	
	\begin{enumerate}
		\item Dessinez deux points distincts $O$ et $I$ (pas trop éloignés). Nous appellerons désormais $1$ la longueur $OI$.
		
		\item Construisez le point $A$ sur la demi-droite $[OI)$ tel que $OA=3$.
		
		\item Dessinez un point $J$ tel que $OIJ$ soit isocèle rectangle en $O$.
		
		\item Construisez le point $B$ sur la demi-droite $[OJ)$ tel que $OB=5$.
		
		\item Notons $M$ le point d'intersection de la parallèle à $(AB)$ passant $J$ et $(OI)$.
		
		Construisez $M$.
		
		\item Dites où est dessinée la longueur $\frac{3}{5}$ sur la figure puis justifiez-le.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	En considérant dans l'exercice précédent le repère $(O,I,J)$ nous voyons que nous sommes désormais capable de dessiner à la règle et au compas tous les points à coordonnées rationnelles.
	
\end{lecon}

\begin{notabene}
	
	Ajouter le fait que les Grecs pensaient savoir ainsi dessiner tous les nombres. Jusqu'à ce qu'ils découvre que $\sqrt{2}$...
	
\end{notabene}

\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}